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昌图县后窑中学教育科研

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平平淡淡地做好一个普普通通的人, 踏踏实实写好自己的人生之路。虽有木讷之嫌,但还请各位师者多多指教,呵呵 继续教育编号:1203314016

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解直角三角形问题的两个数学模型  

2011-01-08 20:40:41|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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  有一些涉及直角三角形的问题,常常需要通过建立各种数学“模型”来解决,这是一种十分重要的思想方法.现举例说明.

  解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研模型1 如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ADC=60°,∠B=45°,BD=10,求AC的长.

  说明 此类问题的特征是:具有公共直角的两个直角三角形,并且它们均位于直角边的同侧.

  解法1 在△ADC中,由解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研,即解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研,∴解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

  解法2 在△ADC中,设CD=x,则解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研.由BC-CD=BD,得解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研,∴解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

  推广1 如图2,小山上有一电视塔CD,由地面上一点A,测得塔顶C的仰角为30°,由A向小山前进100米到B点,又测得塔顶C的仰角为60°,已知CD=20米,求小山高度DE.

  分析 本题可利用模型1,先求得解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研米,

  再求得解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

  想一想:①如果在A、B二处均使用了测量仪,且测量仪高为1.2米时,该怎样求山高?②将此问题改为测河宽CD时,在河一侧岸边设观测点A、B、E,并使CE⊥AE,则求解过程是否完全雷同?

解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

  推广2 如图3,有长为100m的大坝斜坡AB,坡角α=45°,现要改造成坡角β=30°,求伸长的坡度DB的长.

  分析 此题的条件只不过是在模型1中稍加变化而已.

  解 在Rt△ABC中求得解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研又在Rt△ADC中,解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研,∴解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

  推广3 如图4,船自西向东航行,在A处测得小岛S在船北偏东60°,船航行10海里到B处,又测得小岛S在船北偏东45°,在小岛S的周围有半径为12海里的暗礁区,如果船不改变航向,继续前进时有无危险解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研,为什么?

  分析 由题设可知

  ∠SAB=30°,∠SBD=45°,则可归结为模型1的问题,求得解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研.

  ∵SD>12,∴船不会有危险.

  (另外,此问题还可将AB=10改变为船速v=40海里/小时,船自A行驶15分钟后到达B点.)

  模型2 如图5,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB和BC.

  说明 此类问题的特点是:通过作三角形一条解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研边上的高,可将原来的斜三角形化成两个直角三角形来求解.

  解 作AD⊥BC于D,则解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研(或AD=ACsin45°).

  ∴解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研(或解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研),

  BD=ADcot30°=解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研.

  ∴解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研.

  推广1 如图6,在平地上有二幢楼AB及CD相距60米,在A处测得CD底部的俯角为30°,又测得CD顶部的仰角为45°,求CD的高.

  解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研解 在Rt△ADE中,求得解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研在Rt△ACE中,求得CE=AE=60.

  ∴解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

  推广2 如图7,厂房屋架为等腰三角形,倾角为30°,跨度AB为15米,求中柱CD和屋面AC的长.

  解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研解 在Rt△ACD中,∠A=30°,解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

  ∴解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

  推广3 如图8,在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是7米,测得斜坡坡度为1:3.5,求斜坡上相邻两树间的坡面距离.解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

  解 此问题即在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=7,tan∠BAC=1:3.5=解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研,求AB.

  由于AC=7,故BC=2,由勾股定理便可求得解直角三角形问题的两个数学模型 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

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