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平平淡淡地做好一个普普通通的人, 踏踏实实写好自己的人生之路。虽有木讷之嫌,但还请各位师者多多指教,呵呵 继续教育编号:1203314016

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数学“存在性”问题的解题策略  

2011-11-04 08:17:36|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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数学“存在性”问题的解题策略

存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题,这类问题的知识覆盖面较广,综合性较强,题意构思非常精巧,解题方法灵活,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高,是近几年来各地中考的“热点”。这类题目解法的一般思路是:假设存在→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果,就做出“存在”的判断,导出矛盾,就做出不存在的判断。

    由于“存在性”问题的结论有两种可能,所以具有开放的特征,在假设存在性以后进行的推理或计算,对基础知识,基本技能提出了较高要求,并具备较强的探索性,正确、完整地解答这类问题,是对我们知识、能力的一次全面的考验。

【典型例题】

  例1. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

理由。

    分析:这个题目题设较长,分析时要抓住关键,假设存在这样的m,满足的条件有m是整数,一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC斜边c的平方,隐含条件判别式Δ≥0等,这时会发现先抓住Rt△ABC的斜边为c这个突破口,利用题设条件,运用勾股定理并不难解决。

    解:数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ∴设a=3k,c=5k,则由勾股定理有b=4k,

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                                 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

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    ∴存在整数m=4,使方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC的斜边c的平方。

  例2. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

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    (1)求二次函数的最小值(用含k的代数式表示)

    (2)若点A在点B的左侧,且x1·x2<0

    ①当k取何值时,直线通过点B;

    ②是否存在实数k,使S△ABP=S△ABC?如果存在,求出抛物线的解析式;如果不存在,请说明理由。

    分析:本题存在探究性体现在第(2)问的后半部分。认真观察图形,要使S△ABP=S△ABC,由于AB=AB,因此,只需两个三角形同底上的高相等就可以。OP显然是△ABP的高线,而△ABC的高线,需由C作AB的垂线段,在两个高的长中含有字母k,就不难找到满足条件的k值。

    解:数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

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    ∵点A在点B左侧,

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    ∴A(2k,0),B(2,0),

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    (2)过点C作CD⊥AB于点D

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    ∴OP=CD

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  例3. 已知:△ABC是⊙O的内接三角形,BT为⊙O的切线,B为切点,P为直线AB上一点,过点P作BC的平行线交直线BT于点E,交直线AC于点F。

    (1)当点P在线段AB上时,求证:PA·PB=PE·PF

    (2)当点P为线段BA延长线上一点时,第(1)题的结论还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由。

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    分析:第(1)问是一个常规性等积式的证明问题,按一般思路,需要把它转化为比例式,再转化为证明两个三角形相似的问题,同学们不会有太大的困难。难点在于让P点沿BA运动到圆外时,探究是否有共同的结论,符合什么共同的规律。首先需要按题意画出图形,并沿用原来的思路、方法去探索,看可否解决。第(3)问,从题意出发,由条

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条件和结论显现出来。

    证明:(1)(如图所示)

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    ∵BT切⊙O于B,∴∠EBA=∠C,

    ∵EF∥BC,∴∠AFP=∠C

    ∠AFP=∠EBA

    又∵∠APF=∠EPB

    ∴△PFA∽△PBE

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    ∴PA·PB=PE·PF

    (2)(如图所示)

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    当P为BA延长线上一点时,第(1)问的结论仍成立。

    ∵BT切⊙O于点B,

    ∴∠EBA=∠C

    ∵EP∥BC,∴∠PFA=∠C

    ∴∠EBA=∠PFA

    又∵∠EPA=∠BPE

    ∴△PFA∽△PBE

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    ∴PA·PB=PE·PF

    (3)作直径AH,连结BH,∴∠ABH=90°,

    ∵BT切⊙O于B,∴∠EBA=∠AHB

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    又∵∠AHB为锐角

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∴⊙O的半径为3。

  例4. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    (1)求证:它的图象与x轴必有两个不同的交点;

    (2)这条抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2),与y轴交于点C,且AB=4,⊙M过A、B、C三点,求扇形MAC的面积S。

    (3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使△PBD(PD⊥x轴,垂足为D)被直线BC分成面积比为1:2的两部分?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。

    分析:本题的难点是第(3)个问题。

    我们应先假设在抛物线上存在这样的点P,然后由已知条件(面积关系)建立方程,如果方程有解,则点P存在;如果方程无解,则这样的点P不存在,在解题中还要注意面积比为1:2,应分别进行讨论。

    解:数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ∴它的图象与x轴必有两个不同的交点。

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    ∵AB=4,OA=1,

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    ∵C(0,-3),∴OC=OB,∴∠ABC=45°

    ∴∠AMC=90°,设M(1,b),由MA=MC,得:

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    ∴b=-1,∴M(1,-1)

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    (3)设在抛物线上存在这样的点P(x,y),则过B(3,0),C(0,-3)的直线BC的解析式为:

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   ①当S△PBE:S△BED=2:1时,

    PE=2DE,∴PD=3DE

    PD的长是P点纵坐标的相反数,DE的长是E点纵坐标的相反数,且P、E两点横坐标相同

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    ∴P(2,-3)

    ②当S△PBE:S△BED=1:2时,

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  例5. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

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    (1)求m的值;

    (2)求二次函数的解析式;

    (3)在x轴下方的抛物线上有一动点D,是否存在点D,使△DAO的面积等于△PAO的面积?若存在,求出D点坐标;若不存在,说明理由。

    解:(1)作PH⊥x轴于H,在Rt△PAH中

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    ∵P(1,m)在抛物线上,m=1+b+c,

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    ∵OH=1,∴AH-AO=1

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    (3)假设在x轴下方的抛物线上存在点D(x0,y0),

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    ∴满足条件的点有两个:

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  例6. 如图,在平面直角坐标系O—XY中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A和B,且12a+5c=0。

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    (1)求抛物线的解析式;

    (2)如果点P由点A沿AB边以2cm/秒的速度向点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/秒的速度向点C移动,那么:

    ①移动开始后第t秒时,设S=PQ2(cm2),试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;

    ②当S取最小值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点R的坐标;若不存在,请说明理由。

    解:(1)根据题意,A(0,-2),B(2,-2)

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    (2)①移动开始后第t秒时,AP=2t,BQ=t

    ∴P(2t,-2),Q(2,t-2)

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    假设在抛物线上存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形,

    若以PR为一条对角线,使四边形PBRQ为平行四边形

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    若为PB为一条对角线,使四边形PRBQ为平行四边形

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为顶点的四边形是平行四边形。

练习

一、单项选择题(每题3分,共42分)

1. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研(  )

    A. 1 B. -1 C. -2 D. 2

2. 下列计算正确的是(  )

    A. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研;B. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研;C. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研;D. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

3. 1纳米=0.000000001米,则3.14纳米用科学计数表示为(    )

    A. 3.14×109米; B. 3.14×数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研米;  C. 3.14×数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研米; D. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

4. 李明沿着坡角为β的斜坡前进200米,则他上升的最大高度是(   )

    A. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研米; B. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研米;   C. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研米; D. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

5. 如图,⊙O的直径AB⊥CD弦于E,若OB=5,CD=8,则BE长为(   )

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    A. 3 ; B. 2.5; C. 2; D. 1

6. 今年学校有n件科技小作品参赛,比去年增加了40%还多5件,设去年有m件作品参赛,则m=(   )

    A. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研; B. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研;    C. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研; D. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

7. 两圆直径分别为14和6,圆心距为8,则这两圆公切线最多有(    )条。

    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8. 在直角坐标系中,点A(m,n)且数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研,则点A一定不在(    )的图象上。

    A. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研; B. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研; C. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研; D. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

9. 如图,在△ABC中,DE∥BC,AD:DB=EC:AE,则DE:BC=(   )

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    A. 1:3; B. 1:1; C. 2:1; D. 1:2

10. 是中心对称但不是轴对称的图形是(  )

    A. 正三角形 ; B. 梯形; C. 平行四边形; D. 直线

11. 三峡工程在6月1日——6月10日下闸蓄水期间,水库水位由106米升至135米,高峡出平湖初现人间。假设水库水位保持均匀上升,能正确反映水位h(米)与时间t(天)变化的是(  )

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12. 如果圆锥的母线长是高的2倍,侧面展开图的面积是数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研π,则圆锥的高是(  )

    A. 1 ; B. 1.5; C. 2 ; D. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

13. 某商品的价格是按利润的50%计算销售价,为了促销,采取打折优惠方式出售。若每件商品打折后仍能获利20%,则商家是按销售价的(    )折出售

    A. 七五; B. 八; C. 八五; D. 九

14. 已知数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研图象上有点A数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研,则数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研的值(   )

    A. 小于0; B. 等于0;    C. 大于0 ; D. 正负不确定

二、填空题

15. 函数数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研的自变量x的取值范围是__________。

16. 分解因式:数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研__________。

17. 已知梯形下底长是上底长的2倍,且中位线是数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研,则下底长是__________cm。

18. 如果数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研__________。

19. 如图,在直角坐标系中,Rt△OAB∽Rt△OCD,相似比为1:2,且B(1,1),则D的坐标是(_____,_____)。

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20. 小明预算4月份家庭用电开支。四月初连续8天早上电表显示的读数见下表,如果每度电收取电费0.42元,估计小明家四月份这个月(按30天计)的电费是__________元。(注:电表计数器上先后两次显示的读数的差就是这段时间内所消耗电能的度数)

日期

1

2

3

4

5

6

7

8

电报显示读数

21

24

28

33

39

42

46

49

三、(每题5分,共15分)

21. 如果一个角的补角是155°,求这个角的余角。

22. 计算:数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

23. 如图,是一块由长方形ABCG割去长方形EFGD而成的金属板。请你画一条直线,将金属板ABCDEF分成面积相等的两部分(保留作图痕迹,不写作法,不要证明)

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    ∴__________为所求作的直线。

四、解答题(24题7分,其余每题8分,共39分)

24. 已知等腰梯形ABCD的周长是15,AD∥BC,AD<BC,∠BAD=2∠B,对角线CA平分∠BCD,求对角线AC的长及梯形面积S。

25. 某球迷协会组织36名球迷乘车前往比赛场地为中国队加油助威,现可租用两种车辆:一种每辆车可乘坐8人,另一种每辆车可乘坐4人,要求每辆车既不超载也不空座位

    (1)请你给出三种不同的租车方案

    (2)若8个座位的车是每辆280元/天,4个座位的车是每辆200元/天,写出租车费用S(元)与租8人座位车x(辆)的函数解析式,并求自变量x取值范围。

    (3)请确定租车总费用最小的方案,这时费用是多少元?

26. 已知:如图,塔AB和楼CD的水平距离为80米,从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别45°和60°,试求塔高和楼高。(精确到0.01米,数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研1.732)

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27. 如图,已知BC是⊙O的直径,延长CB至A,使数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研,割线APM交⊙O于点M,使3PM=2AP,过M作⊙O的另一直径MN,连结PN交AC于E,切线PF切⊙O于P,交AB于F。

    (1)求证:MN⊥BC于O;(2)求△BFP的面积。

数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

28. 已知:抛物线数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研,它的对称轴交x轴于点N(x3,0),若A,B两点距离不大于6,(1)求m的取值范围;(2)当AB=5时,求抛物线的解析式;(3)试判断,是否存在m的值,使过点A和点N能作圆与y轴切于点(0,1),或过点B和点N能作圆与y轴切于点(0,1),若存在找出满足条件的m的值,若不存在试说明理由。

试题答案

一、单项选择题:(每题3分,共42分)

  1. B 2. C 3. C 4. C 5. C

  6. C 7. B 8. A 9. D 10. C

  11. D 12. C 13. B 14. A

二、填空题

  15. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

  16. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

  17. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

  18. 0或2

  19. D(2,2)

  20. 50.4元

三、(每题5分,共15分)

  21. 65°

  22. 数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

  23. 如图:MN为所求作的直线。

数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

  24. 对角线AC的长为数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研,梯形面积S为数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

  25. 解:(1)设租用8座车x辆,租用4座车y辆,

    则数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ∴数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ∴三种不同的租车方案是:租用4座车9辆;租用8座车一辆,4座车7辆;租用8座车两辆,4座车5辆

    (2)数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    即数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    当x=4时,数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ∴租车总费用最小的方案是:租用8座车4辆,租用4座车1辆,这时费用为1320元。

  26. 塔高:138.56米,楼高:58.56米

  27. 证明:(1)∵数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ∵数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    设AP=3m,则PM=2m,

    由切割线定理:AP·AM=AB·AC

    ∴数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ∴数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    又∵数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ∴数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ∴△AOM是直角三角形,∴MN⊥BC

    (2)作PH⊥AC于H,∵PH∥MN

数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ∴数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    设BF=x,则AF=数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研,∵PF为切线,

    ∴∠APF=∠TPM=∠N

    即∠APF=∠N

    ∵∠A+∠M=90°,∠N+∠M=90°,∴∠A=∠N

    ∴∠A=∠APF,∴PF=AF=数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    由切割线定理:数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ∴数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ∴数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

  28. 解:(1)令y=0,则数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ∵数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ∴数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ∴数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ∴数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    由AB≤6,且数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研,得:

    数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ∴数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    (2)当AB=5时,数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ∴抛物线的解析式为:数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    (3)N(x3,0)是抛物线与x轴的交点

    ∴数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ①若N在x轴的正半轴上,

数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    则数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    由切割线定理:

    数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ∴数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ②若N在x轴的负半轴上,

数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    则数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    由切割线定理:数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ∴数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ∴数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ∵数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ∴数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ∴数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研

    ∴m的值为1或数学“存在性”问题的解题策略 - 高启龙  - 昌图县后窑中学教育科研


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